主題；「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」について：

　

　１２月２４日付の朝日新聞朝刊に２００３年２月に行われた東京大学の入試問題で「円周率が３．０５より大きいことを証明せよ」との記述があった。

　暇つぶしにやってみた。

１．半径１に内接する正１２角形の辺の長さに注目する。
　　(半円周はπ)：
  ａｎ+１・cos15°＝ａｎ／2、　〔ａｎ／2＝sin30°＝1/2〕
cos15° ＝cos(45°－30°)
＝cos45°・cos 30°＋sin45°・sin30°
＝√2／2　・√3／2　＋√2／2・１／2
＝√2／4・(√3　+１)
　従って、
　正１２角形の一辺の長さ
  ａｎ+１ ＝1/2・4/{√2・(√3　+１)}
＝√2・(√3　－１)／2
＝0.5176

　内接半円相等分の辺の長さは、
　6X 0.5176=3.1058となる｡
　従って、π＞3.105＞3.05

　朝日新聞の3.05は、3.105の間違いか？

２．正多角形を一般化した例を
　　　　　　　「オイラーの贈物」から紹介する。：
  『この本はｅｉπ＝－１を証明するために書かれた本である。』
　FIG　１で正６角形を基本に６ｘ２n+1角形の辺の長さを求める。

  ｘ+ｙ ＝１ ････①
ｘ2+(ａn/2)2 ＝１ ････②
ｙ2+(ａn/2)2 ＝(ａｎ+１)2 ････③
②、③から(ａn/2)2　を消去すると、
  ｘ2－ｙ2 ＝１－(ａｎ+１)2
(ａｎ+１)2 ＝１－ｘ2+ｙ2＝１－(ｘ+ｙ) (ｘ－ｙ)
＝１－ｘ+ｙ
＝２－２ｘ
＝２－２√{１－(ａn/2)2}
 
ａｎ+１ ＝√[２－√{４－(ａｎ)2}]

  ａ０ ＝１ (正６角形)
ａ１ ＝√[２－√{４－(１)2}] ＝√{２－√３}
＝1/√4･√[{8－4√(３) }]
＝1/2･｛√(√６－√2) 2｝
＝1/2･(√６－√2)＝0.5176 (正12角形)
ａ２ ＝√{２－√(２+√３)}＝0.2610 (正24角形)
ａ３ ＝√[２－√{２+√(２+√３)}＝0.1308 (正48角形)

　正（６ｘ２n+1）の半周の長さを以下に記す。
  正 　６角形 ３　ｘａ０＝３
正　１２角形 ６　ｘａ１＝３.1058
正　２４角形 １２ｘａ２＝３.1326
正　４８角形 ２４ｘａ３＝３.1393
正　９６角形 ４８ｘａ４＝３.1410
正１９２角形 ９６ｘａ５＝３.1414
注１）
　朝日新聞では正８角形の面積と円の面積（π）を比較する。
　また正１２角形でも良いとあったが、訂正記事が出て正２４角形で証明するとのことであった。

３．あとがき：
  　

　文部科学省は、πを約３と教えることになったそうだが、円周の長さが正６角形の周の長さとほぼ同じと教えているようなものじゃないか。
　少なくとも約3.15の方がより妥当ではないか・・・正６角形の５％増しとの目安である。
　見た目にも６角形では差がありすぎると実感した次第である。　

 

参考図書、資料

「オイラーの贈物」人類の至宝　ｅｉπ＝－１
　を学ぶ		 吉田　武 ちくま学芸文庫

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