１．	自然数の和
	１＋２＋３＋・・・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
２．	ピタゴラスの定理
	底辺ａ、高さｂの直角３角形で斜辺ｃとすると ａ２＋ｂ２＝ｃ２
３．	２項定理
	係数 （ａ＋ｂ）０ 　　　　　　１ １ （ａ＋ｂ）１ 　　　　１　　　１ ａ＋ｂ （ａ＋ｂ）２ 　　　１　　２　　１ ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ （ａ＋ｂ）３ 　　１　　３　　３　　１ ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３ （ａ＋ｂ）４ 　１　　４　　６　　４　　１ 　パスカルの三角形 （ａ＋ｂ）ｎ 　n Σ　n C k a(n-1) bk k=0
４．	オイラーの公式
	ｅｉθ=　cosθ +　ｉsinθ　　ｅｉπ=－１
５．	植物・動物の分類
	<<進化の推定>>
６．	惑星の配列（ケプラー第３法則）
	<<新惑星の推定>> 下記参照
７．	周期律表
	<<核融合反応の推定、化合物分子式、ＤＮＡ、ゲノム・・・>>
８．	比較言語学
	《ペルシャ、ギリシャ、ラテン、スラブ、ゲルマン、などのヨーロッパ言語がインドの サンスクリット語を祖語としていること。》

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1.ケプラー第３法則

	惑星	距離	周期
		ａ	ｐ	ａ３	ｐ２	ａ３／ｐ２	ｌｏｇ（ａ）	ｌｏｇ（ｐ）
1	水星	0.39	0.24	0.06	0.06	1.03	-0.41	-0.62
2	金星	0.72	0.62	0.37	0.38	0.97	-0.14	-0.21
3	地球	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	0.00	0.00
4	火星	1.52	1.88	3.51	3.53	0.99	0.18	0.27
5	小惑星	2.80	4.69	21.95	21.95	1.00	0.45	0.67
6	木星	5.20	11.86	140.61	140.66	1.00	0.72	1.07
7	土星	9.55	29.46	870.98	867.89	1.00	0.98	1.47
8	天王星	19.22	84.02	7100.03	7059.36	1.01	1.28	1.92
9	海王星	30.11	164.77	27298.09	27149.15	1.01	1.48	2.22
10	冥王星	39.54	247.80	61817.29	61404.84	1.01	1.60	2.39

　　ａ：太陽からの平均距離；地球　ａ＝１は、1.5Ｘ１０１１Ｍ
　　 ｐ：公転周期　年

　　第３法則；惑星の太陽からの平均距離　ａ３乗は、公転周期　ｐ２乗に比例する。

天海冥は推定で発見 土星 木星 小惑星は推定で発見 火星 地球 金星 水星

２．チチウス・ボーデの法則

	距離x10	-4	規則性
太陽	0	-4
水星	4	0
金星	7	3	３ｘ２０
地球	10	6	３ｘ２１
火星	16	12	３ｘ２２
小惑星	28	24	３ｘ２３
木星	52	48	３ｘ２４
土星	100	96	３ｘ２５
天王星	196	192	３ｘ２６

 

解説

１．自然数の和　
　紀元前６世紀ギリシャの学校で先生が１から100まで足し算する問題を出し少し休憩しようとしたところ、たちどころに答えをだしたのは、ピタゴラス？

　Ｓｎ　＝１＋　２　＋　３＋・・・・・　　＋ｎ　
とする
逆から並べて　 Ｓｎ　＝ｎ＋ｎ－１　＋ｎ－２＋　・・・　＋１　
２Ｓｎ　＝(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)・・・＋(ｎ＋１)

　→　　(n+1)がｎ個

　故に、Ｓｎ＝n(ｎ＋１)／２

２．ピタゴラスの定理
　底辺ａ、高さｂ　の直角３角形で斜辺ｃとすると　

３．２項定理

係数＝パスカルの３角形 （ａ＋ｂ）０　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　１ （ａ＋ｂ）１　　　　　１　　　１　　　　　　　　　　　　　ａ＋ｂ （ａ＋ｂ）２　　　　　１　　２　　１　　　　　　　　　　　ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ （ａ＋ｂ）３　　　１　　３　　３　　１　　　　　　　　　　ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３ （ａ＋ｂ）４　　１　　４　　６　　４　　１ （ａ＋ｂ）５　　１　　5　　10　　10　　5　　１ （ａ＋ｂ）ｎ＝　ｎＣoａｎ＋ｎＣ１ａ（ｎ－１）ｂ1＋ｎＣ2ａ（ｎ－2）ｂ2＋ｎＣ3ａ（ｎ－3）ｂ3＋・・・ ＋ｎＣｎｂｎ n ＝　 Σ　 n C k a(n-1) bk k=0 ｎＣｒ　 ＝ｎ！／r!(ｎ-1)！ ｎＣ０　＝ｎ！／0!(ｎ-0)！＝ｎ／n！　　　＝1 ｎＣ１　＝ｎ！／1!(ｎ-1)！＝ｎ!／1(n-1)! ＝n ｎＣ２　＝ｎ！／2!(ｎ-2)！＝ｎ!／2!(n-2)!＝n(n-1)/2 ｎＣｎ　＝ｎ！／n!(ｎ-n)！＝ｎ!／n!(1!)　 ＝１

４．テーラー展開

ｎ f(x)＝　　∑　ａｋxｋ　＝ａ0＋ａ１x＋ａ2x2＋ａ3x3＋・・・＋ａnxn　とすると ｋ＝0 f０(0)＝ａ０　f1(0)＝ａ１　f２(0)＝2!ａ２　f３(0)＝3!ａ３　　　　fｎ(0)＝n!ａｎ 故に、 ｎ f(ｘ)= ∑ 　1／k!ｆ （ｋ）(0) ｘｋ ｋ＝0

５．オイラーの公式

ｅｉθ＝　cosθ +　ｉ sinθ　　　　　　　　　 　ｅｉπ=－１ cosθ, sinθのテーラー展開をすると cosθ＝１-1/2!θ２＋1/4!θ４＋・・・・ sinθ＝θ-1/3!θ３＋1/5!θ５＋・・・・ 従って、 cosθ +　ｉsinθ ＝(１-1/2!θ２＋1/4!θ４＋・・・・)＋ｉ(θ-1/3!θ３＋1/5!θ５＋・・・・) ＝１＋ｉθ＋1/2!(ｉθ)２＋1/3!(ｉθ)３＋1/4!(ｉθ)４＋・・・・・・ ∞ f(ｘ)=　∑　　　　1／n!　(ｉθ)n ｎ＝０

関数　ｅ^x　のテーラー展開は

ｎ ｅx　=　∑　　１／ｎ!　ｘｋ　＝１+ｘ+１/2!　ｘ2＋1/3!　ｘ3＋・・・・＋1/ｎ!　ｘn 　　　　　　ｋ＝０ 　　　故に　 　ｅｉθ＝　cosθ +　ｉ sinθ　　　θをπとすると　　ｅｉπ=－１

ｅ ＆　πは、無理数。
　
ｉ　は虚数単位であるのに、ｅ のｉπ乗が「－１」とは、
驚き　　!!!!